Calculer un inverse de matrice avec des puissances - Corrigé

Énoncé

Soit la matrice  \(A=\begin{pmatrix} 1&2&-1\\-2&0&1\\0&1&1 \end{pmatrix}\)  et la matrice identité  \(I=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}\) .

1. Calculer  \(A^2\)  puis  \(2A^2-4A+5I\) .

2. Calculer  \(A^3\) . Que remarque-t-on ?

3. En déduire que  \(A\)  est inversible et exprimer son inverse.

Solution

1.  \(A^2=\begin{pmatrix} -3&1&0\\-2&-3&3\\-2&1&2 \end{pmatrix}\) .
\(2A^2=\begin{pmatrix} -6&2&0\\-4&-6&6\\-4&2&4 \end{pmatrix}\)  puis  \(-4A=\begin{pmatrix} -4&-8&4\\8&0&-4\\0&-4&-4 \end{pmatrix}\)  et  \(5I=\begin{pmatrix} 5&0&0\\0&5&0\\0&0&5 \end{pmatrix}\) .

Donc  \(2A^2-4A+5I=\begin{pmatrix} -5&-6&4\\4&-1&2\\-4&-2&5 \end{pmatrix}\) .

2. Pour calculer  \(A^3\) , on calcule  \(A^2×A=\begin{pmatrix} -5&-6&4\\4&-1&2\\-4&-2&5 \end{pmatrix}\) .
On remarque donc que  \(2A^2-4A+5I=A^3\) .

3. D'après la question précédente, on a donc  `1/5 (A^3-2A^2+4A)=I` .
En factorisant par  \(A\)  dans le premier membre, on a  \(\) :  \(\dfrac{1}{5} (A^2-2A+4I)A=I\) .
\(\dfrac{1}{5}(A^2-2A+4I)A=I\)  d'où  \(A\)  est inversible et `A^-1`   \(=\dfrac{1}{5}(A²-2A+4I)\) .